Descrição geral

Neste curso sobre valores próprios (va.p) e vetores próprios (ve.p.) damos especial atenção às várias aplicações deste conceito fundamental de Álgebra Linear na ciência e engenharia. Começamos por analisar o seu papel nas transformações geométricas, para depois os vermos a explicar a evolução de sistemas dinâmicos que incluem modelos predador-presa e modelos de sobrevivência de uma espécie. Também abordamos alguns modelos simples de mecânica clássica e quântica que usam a linguagem dos va.p. e ve.p. A descrição de uma aplicação moderna do processamento de imagens digitais vai permitir abordar o tópico de valores singulares. Este é um tópico mais avançado de Álgebra Linear, mas é acessível para quem seguir este curso.

Do ponto de vista matemático, a abordagem deste tópico inclui, para além do procedimento clássico para calcular va.p. e ve.p., a diagonalização e diagonalização ortogonal de matrizes e o teorema espetral. Mostramos ainda alguns resultados sobre aproximações para va.p. e ve.p. quando as matrizes são de grandes dimensões. No caso de matrizes retangulares, introduzimos o conceito de valores singulares que tentam reproduzir as boas propriedades das matrizes simétricas definidas positivas.

Objetivos de aprendizagem

No final deste curso, os participantes deverão estar aptos a:

  • calcular manualmente va.p. e ve.p. próprios para matrizes 2x2 e 3x3;
  • calcular, com recurso a software, va.p. e ve.p. próprios para matrizes mais complicadas;
  • interpretar o significado dos va.p e ve.p. no contexto de transformações lineares, sistemas dinâmicos e formas quadráticas;
  • diagonalizar matrizes, classificar formas quadráticas e usar a decomposição espetral em algumas aplicações;
  • aplicar o método numérico da potência para o cálculo aproximado de va.p. e ve.p. dominantes.

Público-alvo

Este curso destina-se preferencialmente a alunos do ensino superior (cursos científicos, técnicos ou de engenharia) e a profissionais que trabalham nas áreas da ciência e tecnologia.

Pré-requisitos

Ao nível de conhecimentos em matemática:

  • familiaridade com alguns conceitos básicos de Álgebra Linear: operações matriciais, determinantes, independência linear e bases ortonormais;
  • saber encontrar raízes de polinómios e soluções de equações diferenciais simples;
  • manipular algebricamente números complexos.

Ao nível de software de cálculo numérico e simbólico:

  • saber usar um software adequado, como por exemplo o Mathematica, MATLAB ou Maple.

Conteúdos

Os conceitos a abordar são:

  • va.p. e ve.p. de transformações lineares;
  • raízes do polinómio característico;
  • matrizes reais com valores próprios complexos;
  • descrição do comportamento de sistemas dinâmicos (discretos e contínuos);
  • trajetórias no espaço de fase;
  • diagonalização e diagonalização ortogonal de matrizes simétricas;
  • eixos principais e formas quadráticas;
  • va.p. e ve.p. dominantes;
  • método iterativo para cálculo aproximado de va.p. e ve.p.;
  • decomposição espetral e em valores singulares;
  • aplicação a um modelo quântico simples.

Organização e duração

O curso encontra-se organizado em 4 tópicos que correspondem a 5 semanas de duração. Começamos com uma breve introdução ao curso, onde apresentamos uma nota histórica sobre o tópico dos va.p. e ve.p. e as suas aplicações mais importantes em ciência e engenharia.

Cada tópico semanal inclui vídeos de exposição dos conceitos e dos cálculos a realizar e ainda links para simulações interativas que serão disponibilizadas para uso próprio de cada um dos participantes para que tenham a possibilidade de praticar autonomamente. No meio dos vídeos existem questões de auto avaliação cujos objetivos são incentivar a contribuição dos participantes nos fóruns de discussão disponíveis para o efeito e prepará-los para os testes de avaliação.

De modo a que seja possível recordar as definições dos principais conceitos introduzidos e procedimentos descritos, usando uma sintaxe simples, constrói-se ao longo do curso uma Wiki para consulta rápida.

Em alguns casos, disponibilizam-se documentos escritos que auxiliam a compreensão de conteúdos auxiliares e complementares de algumas matérias.

Modalidades de Avaliação

No final de cada tópico semanal estão previstos momentos de avaliação: testes individuais de avaliação com exercícios de escolha múltipla, respostas múltiplas ou numéricas. Existe ainda uma avaliação sumativa em cada tópico (80% da nota final do curso).

No final do curso há um teste final sobre os vários conteúdos abordados (20% da nota final do curso). Para os participantes que concluírem 60% (ou mais) das atividades de avaliação com sucesso, no final do curso ficará um certificado de participação (sem classificação atribuída).

Tutores

Ana Moura Santos

Ana Moura Santos

Licenciada em Física-Matemática na Universidade de Moscovo, é mestre (1995) e doutora (1999) em Matemática Aplicada pelo Técnico, onde começou a lecionar em 1987 - primeiro no Departamento de Física e, desde 1993, no Departamento de Matemática.

Desenvolve investigação na área da Teoria de Operadores e Análise Funcional com aplicações a Física-Matemática, e também tem desenvolvido trabalho em questões de ordem pedagógica, nomeadamente em projetos de e-learning na área da Matemática.

Passa a maior parte do seu tempo livre em atividades relacionadas com dança, praticando atualmente sevilhanas e flamenco e participando em projetos de dança com tecnologia.

Pedro Lima

Pedro Lima

Doutorado em Física-Matemática pela Universidade Estatal de Moscovo em 1990.

Professor Associado do Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico, onde trabalha desde 1989 e leciona disciplinas da área de Matemática Computacional.

É membro do Centro de Matemática Computacional e Estocástica (CEMAT), desenvolve investigação em Análise Numérica e tem participado em diversos projetos nacionais e internacionais nessa área. Trabalha atualmente em modelos numéricos da Neurociência.

Miguel Carvalho

Miguel Carvalho

Aluno finalista do Mestrado em Engenharia Informática e de Computadores no Instituto Superior Técnico, atualmente a realizar a tese sobre a evolução da cooperação em redes complexas.

Foi bolseiro do Departamento de Matemática onde criava exercícios para as fichas eletrónicas das cadeiras de Álgebra Linear e de Probabilidade e Estatística, tendo contribuído mais tarde com exercícios para integrar no curso Valores Próprios na plataforma MOOC Técnico. Fez também parte do desenvolvimento da Wiki do Técnico.

Para além da sua atividade académica, pratica voleibol na 1ª Divisão Nacional no Sporting Clube das Caldas.

Bibliografia recomendada

D.C. Lay, S.R. Lay & J.J. McDonald (2016). Linear Algebra and Its Applications (4th Edition). Global Edition. Pearson

Strang G. (2013). Introdução à Álgebra Linear (4ª edição). Rio de Janeiro: LTC

Creative Commons License
Este curso e os seus respetivos conteúdos estão licenciados através da licença Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

Os vídeos integrados neste curso foram gravados no estúdio da FCCN

  1. Course Number

    vapX
  2. Classes Start

    Nov 19, 2017
  3. Classes End

    Jan 07, 2018
  4. Enrollment Start Date

    Nov 03, 2017
  5. Enrollment End Date

    Dec 17, 2017
  6. Language

    Portuguese
  7. Estimated Effort per Week

    6:00
  8. Price

    Free
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