Neste curso sobre valores próprios (va.p) e vetores próprios (ve.p.) damos especial atenção às várias aplicações deste conceito fundamental de Álgebra Linear na ciência e engenharia. Começamos por analisar o seu papel nas transformações geométricas, para depois os vermos a explicar a evolução de sistemas dinâmicos que incluem modelos predador-presa e modelos de sobrevivência de uma espécie. Também abordamos alguns modelos simples de mecânica clássica e quântica que usam a linguagem dos va.p. e ve.p. A descrição de uma aplicação moderna do processamento de imagens digitais vai permitir abordar o tópico recente dos valores singulares. A decomposição em valores singulares é um tópico, que apesar de não ser geralmente contemplado nos programas curriculares de uma primeira disciplina de Álgebra Linear, tem muito interesse nas aplicações e revela propriedades algébricas e geométricas fundamentais das matrizes e respetivas transformações lineares.
Do ponto de vista matemático, a abordagem dos va.p. e ve.p. neste curso inclui, para além da descrição do procedimento clássico para os calcular, as questões da diagonalização e diagonalização ortogonal de matrizes e a análise do teorema espetral. Mostramos, ainda, alguns resultados sobre aproximações para va.p. e ve.p. quando as matrizes são de grandes dimensões. No caso de matrizes retangulares, introduzimos o conceito de valores singulares que são uma extensão natural das boas propriedades das matrizes simétricas definidas positivas, chamando a atenção para o seu interesse para qualquer matriz diagonalizável, ou não diagonalizável.
Objetivos de aprendizagem
No final deste curso, os participantes deverão estar aptos a:
calcular manualmente va.p. e ve.p. próprios para matrizes 2x2 e 3x3;
calcular, com recurso a software, va.p. e ve.p. próprios para matrizes mais complicadas;
interpretar o significado dos va.p e ve.p. no contexto de transformações lineares, sistemas dinâmicos e formas quadráticas;
diagonalizar matrizes, classificar formas quadráticas e usar a decomposição espetral em algumas aplicações;
aplicar o método numérico da potência para o cálculo aproximado de va.p. e ve.p. dominantes.
Público-alvo
Este curso destina-se preferencialmente a alunos do ensino superior (cursos científicos, técnicos ou de engenharia) e a profissionais que trabalham nas áreas da ciência e tecnologia.
Pré-requisitos
Ao nível de conhecimentos em matemática:
familiaridade com alguns conceitos básicos de Álgebra Linear: operações matriciais, determinantes, independência linear e bases ortonormais;
saber encontrar raízes de polinómios e soluções de equações diferenciais simples;
manipular algebricamente números complexos.
Ao nível de software de cálculo numérico e simbólico:
saber usar um software adequado, como por exemplo o Mathematica, MATLAB ou Maple.
Conteúdos
Os conceitos a abordar são:
va.p. e ve.p. de transformações lineares;
raízes do polinómio característico;
matrizes reais com valores próprios complexos;
descrição do comportamento de sistemas dinâmicos (discretos e contínuos);
trajetórias no espaço de fase;
diagonalização e diagonalização ortogonal de matrizes simétricas;
eixos principais e formas quadráticas;
va.p. e ve.p. dominantes;
método iterativo para cálculo aproximado de va.p. e ve.p.;
decomposição espetral e em valores singulares;
aplicação a um modelo quântico simples.
Organização e duração
O curso encontra-se organizado em 4 tópicos que correspondem a 4 semanas de trabalho. Antes de se iniciarem os tópicos com os conteúdos práticos do curso, existe uma breve introdução onde se apresenta uma nota histórica sobre o tópico dos va.p. e ve.p. e as suas aplicações mais importantes em ciência e engenharia. Esta introdução inclui um teste diagnóstico que não é contabilizado para a avaliação final do curso.
Nesta segunda edição do curso Valores Próprios, os tópicos vão ser lançados da seguinte forma:
Primeira semana: Introdução; Tópico 1 e Tópico 2;
Segunda semana: Tópico 3 e Tópico 4.
Cada tópico de conteúdo inclui vídeos de exposição dos conceitos e dos cálculos a realizar e ainda links para simulações interativas que serão disponibilizadas para uso próprio de cada um dos participantes com o objetivo de facilitar uma prática autónoma. No final de alguns vídeos existem questões de auto-avaliação que pretendem incentivar a discussão da resolução de problemas e espera-se que os(as) participantes tragam as suas dúvidas e comentários para os fóruns de discussão disponíveis para o efeito.
No final de cada tópico existem momentos de avaliação com ponderações distintas. Os prazos de resposta aos testes são de, no mínimo, duas semanas. O certificado que acompanha os 60% ou mais de sucesso no curso ficará disponível no final.
De modo a que seja possível recordar as definições dos principais conceitos introduzidos e procedimentos descritos sem haver a necessidade de rever os vídeos do curso, existe uma Wiki, que será construída ao longo do curso, de consulta rápida.
Em alguns casos, disponibilizam-se documentos escritos que auxiliam a compreensão de conteúdos auxiliares e complementares de algumas matérias.
Modalidades de Avaliação
No final de cada tópico semanal existe uma avaliação sumativa:
Tópicos 1 e 2: cada teste contabiliza 20% para a nota final do curso;
Tópicos 3 e 4: cada teste contabiliza 30% para a nota final do curso.
Os participantes que concluírem 60% (ou mais) das atividades de avaliação com sucesso, no final do curso poderão obter um certificado de participação (sem classificação atribuída).
Tutores
Ana Moura Santos
Licenciada em Física-Matemática na Universidade de Moscovo, é mestre (1995) e doutora (1999) em Matemática Aplicada pelo Técnico, onde começou a lecionar em 1987 - primeiro no Departamento de Física e, desde 1993, no Departamento de Matemática.
Desenvolve investigação na área da Teoria de Operadores e Análise Funcional com aplicações a Física-Matemática, e também tem desenvolvido trabalho em questões de ordem pedagógica, nomeadamente em projetos de e-learning na área da Matemática.
Passa a maior parte do seu tempo livre em atividades relacionadas com dança, praticando atualmente sevilhanas e flamenco e participando em projetos de dança com tecnologia.
Pedro Lima
Doutorado em Física-Matemática pela Universidade Estatal de Moscovo em 1990.
Professor Associado do Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico, onde trabalha desde 1989 e leciona disciplinas da área de Matemática Computacional.
É membro do Centro de Matemática Computacional e Estocástica (CEMAT), desenvolve investigação em Análise Numérica e tem participado em diversos projetos nacionais e internacionais nessa área. Trabalha atualmente em modelos numéricos da Neurociência.
Miguel Carvalho
Aluno finalista do Mestrado em Engenharia Informática e de Computadores no Instituto Superior Técnico, atualmente a realizar a tese sobre a evolução da cooperação em redes complexas.
Foi bolseiro do Departamento de Matemática onde criava exercícios para as fichas eletrónicas das cadeiras de Álgebra Linear e de Probabilidade e Estatística, tendo contribuído mais tarde com exercícios para integrar no curso Valores Próprios na plataforma MOOC Técnico. Fez também parte do desenvolvimento da Wiki do Técnico.
Para além da sua atividade académica, pratica voleibol na 1ª Divisão Nacional no Sporting Clube das Caldas.
Bibliografia recomendada
D.C. Lay, S.R. Lay & J.J. McDonald (2016). Linear Algebra and Its Applications (4th Edition). Global Edition. Pearson
Strang G. (2013). Introdução à Álgebra Linear (4ª edição). Rio de Janeiro: LTC
